Отец художника был некоторое время мэром города Голуэй в Ирландии в 1716—1717 (мэру не было ещё 21 года). Опасаясь ареста, будучи втянут в религиозное противостояние местных общин, он был вынужден переселиться в Лондон, чтобы оспорить уголовное обвинение в парламенте, здесь он и поселился в приходе Святой Марии Савойской. Он был два раза женат: в 1721 на Анне Фаулер, которая умерла на следующий год, в 1725 году он женился на Фрэнсис Линн, дочери секретаря Королевского Африканского общества. В 1726 их старший ребёнок Фрэнсис (будущий художник), был крещён в церкви Сент-Мэри-ле-Стрэнд.

Котс учился у портретиста Джорджа Кнеэптона (1698—1778) вплоть до создания собственной мастерской в доме своего отца на Корк-стрит в Лондоне. Предполагают, что именно хорошее знакомство с химией позволило ему внести новшества в изготовление пастели. Современники высоко ценили его познания в этой области — в 1764 году. Котс был приглашён Обществом художников для прочтения публичной лекции о способах фиксации пастели. Некоторые источники указывают на то, что он, возможно, даже отправился в Италию для изучения живописи, хотя нет никаких прямых доказательств этого. Возможно, Котс был знаком с Жаном Этьеном Лиотаром , приезжавшим в Лондон в 1753. Первые известные самостоятельные работы Котса в технике пастели относятся к 1752 году.

Алиса, графиня Шипбрук
Она идет во всей красе —
Светла, как ночь её страны.
Вся глубь небес и звёзды все
В её очах заключены.
Как солнце в утренней росе,
Но только мраком смягчены.

Прибавить луч иль тень отнять —
И будет уж совсем не та
Волос агатовая прядь,
Не те глаза, не те уста
И лоб, где помыслов печать
так безупречна, так чиста.

А этот взгляд, и цвет ланит,
И лёгкий смех, как всплеск морской, —
Всё в ней о мире говорит.
Она в душе хранит покой.
И если счастье подарит,
То самой щедрою рукой.
(Джордж Гордон Байрон
Перевод С.Я. Маршака)